Cálculo 1A - INTRODUÇÃO

 

 

Aula 1 – As Raízes do Cálculo

 

Princípios fundamentais: Isaac Newton e Gottfried Leibniz, século 17.

 

Motivação: Solução dos problemas:

1.      Descobrir a reta tangente a uma curva genérica num dado ponto

2.      Descobrir a área de uma região genérica e  o volume de um sólido em geral

3.      Descobrir o valor máximo e mínimo de uma quantidade

4.      Dada a fórmula para a distância percorrida por um corpo em função do tempo, descobrir a velocidade e aceleração do corpo em um instante qualquer. Inversamente, dada a fórmula da aceleração, descobrir a distância percorrida em um intervalo de tempo.

 

Todos estes problemas envolvem processos infinitos. Na natureza há processos que não podem ser completos com um número finito de passos, e devem permanecer inacabados.

Exemplo físico: deseja-se diluir o sal em um salmoura, acrescentando-se mais água, de forma de forma que a concentração de sal seja nula. Este é um processo infinito, pois, por mais água que se acrescente à mistura água-sal, a concentração de sal jamais será nula. 

            Exemplo matemático:

-         O número: 1/8 pode ser represento pelo número 0,125 após a divisão ser efetuada em três passos consecutivos.

-         O número  não pode ser obtido em um número finito de passos em qualquer processo.

 

Séries infinitas: A expansão decimal de 1/3 é:

Assim, 1/3 pode ser aproximada com qualquer precisão desejada, acrescentando-se um número suficiente de termos.

 

 

O número p: No começo da civilização babilônica e egípcia, surgiu a necessidade do número p para a demarcação de terras.

O número p foi criado para relacionar a área e o perímetro de um círculo com o seu raio.

Arquimedes foi um dos primeiros a obter uma aproximação de p até duas casas decimais. Com o Cálculo, foram descobertas várias séries infinitas para a determinação de p.

A primeira delas foi: . Esta série, porém, demanda um número muito grande de termos para se obter uma aproximação adequada.

 

Área: As fórmulas para o cálculo de áreas planas, cujo contorno é formado por linhas retas era bastante conhecida pelas civilizações antigas.

            O erudito grego Antiphon, em cerca de 430 AC idealizou a idéia de se obter a área de um círculo com uma precisão arbitrária, dividindo-o em triângulos circunscritos. Mais tarde o matemático grego Eudoxio esquematizou esta idéia criando um algoritmo conhecido como método de exaustão.

 

Retas Tangentes: Retas tangentes à curvas genéricas foram de grande importância para os matemáticos e cientistas do século XVII, devido à sua aplicação no desenho de lentes.

            Seja P e Q dois pontos distintos em um círculo e PQ a reta secante que passa por estes dois pontos. Se fizermos Q se mover ao longo da curva na direção de P, a reta secante irá se mover na direção de uma reta tangente ao círculo em P.

            Assim, o problema geométrico de se encontrar uma reta tangente leva a um problema envolvendo um processo infinito.

 

Movimento Contínuo: A Grécia antiga teve duas escolas de pensamento sobre a natureza do espaço e do tempo: a discreta e a contínua.

            Discreta: espaço e tempo são quantidades indivisíveis e o movimento uma sucessão de pequenos saltos discretos.

            Contínua: não importa quão pequeno seja, cada unidade de tempo e de espaço pode ainda ser subdividido e o movimento é um processo contínuo suave.

 

Zenon, filósofo grego questionou a teoria discreta do movimento com o Paradoxo da Flecha e a teoria contínua com o paradoxo de Aquiles e da Tartaruga. Paradoxo é um argumento o qual aparenta ser logicamente correto, mas que leva a uma contradição ou a uma conclusão a qual desafia abertamente o senso comum.

 

Paradoxo da Flecha: Se o espaço e tempo são discretos, então uma flecha não pode se mover através do ar, pois a cada instante de tempo ela está em um ponto definido e, portanto, em repouso naquele instante. Assim, ela está sempre em repouso.

 

Paradoxo de Aquiles e da Tartaruga: Se o espaço e o tempo são contínuos e se for dada à tartaruga uma pequena vantagem em uma corrida com Aquiles, então ele nunca alcançará a tartaruga, pois, quando Aquiles atingir o ponto A de partida da tartaruga, ela terá se movido para frente até o ponto B. Quando Aquiles atingir B, a tartaruga terá se movido até C e assim por diante.

 

Até hoje os paradoxos de Zenon levantam questões filosóficas incômodas sobre a natureza do movimento. A partir do Século XIV, o debate de deslocou da área filosófica para o estudo quantitativo da velocidade e da aceleração.  Surgiu o conceito da velocidade média, ou seja a relação entre o espaço percorrido e o tempo gasto no percurso. Muitas vezes porém a velocidade média não é suficiente para descrever um movimento e a noção da velocidade instantânea tomou corpo.

A seguinte idéia surgiu: suponha estarmos interessados na velocidade instantânea de um objeto  num certo tempo t. Durante um pequeno intervalo a velocidade não deve variar muito. Se t+h for um intervalo de tempo ligeiramente maior que t, então a velocidade no tempo t+h se aproxima muito da velocidade em t, sugerindo que a velocidade instantânea seja definida como um limite da velocidade média, calculada em intervalos cada vez menores no tempo t.

 

Rigor e prova no cálculo: De 200 AC até 1870, o desenvolvimento da matemática esteve baseado na intuição. Euclides introduziu o conceito de prova dedutiva.

            Tomemos a soma:

Intuitivamente poderíamos concluir que a soma é zero, já que:   

Porém poderíamos agrupar na forma:

Ou seja precisamos de uma definição do que seja soma de uma série infinita de termos, e estabelecer exatamente as condições em que esta definição funciona.

 

A Descoberta do Século:  Relação fundamental entre os problemas de descobrir áreas e o das retas tangentes. Newton e Leibniz descobriram esta relação independentemente. Newton fez a descoberta 10 anos antes do que Leibniz, mas só publicou seu trabalho 20 anos após Leibniz. Esta situação provocou um debate tempestuoso na Europa, onde a Inglaterra sustentava que Newton era o protagonista da nova descoberta e o resto do continente apoiava Leibniz. Este conflito perdurou por cerca de 50 anos e prejudicou que a Inglaterra utilizasse as descobertas de Newton no campo da astronomia e física por este período.